Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс» - сложность 2 с решениями

Сумма цифр натурального числа <i>n</i> равна 100. Может ли сумма цифр числа <i>n</i>³ равняться 1000000?

На окружности расставлены 999 чисел, каждое равно 1 или –1, причём не все числа одинаковые. Возьмём все произведения по 10 подряд стоящих чисел и сложим их.

  а) Какая наименьшая сумма может получиться?

  б) А какая наибольшая?

В треугольнике <i>ABC</i> точка <i>M</i> – середина стороны <i>AC</i>, точка <i>P</i> лежит на стороне <i>BC</i>. Отрезок <i>AP</i> пересекает <i>BM</i> в точке <i>O</i>. Оказалось, что  <i>BO = BP</i>. Найдите отношение <i>OM</i> : <i>PC</i>.

  а) Есть кусок сыра. Разрешается выбрать любое положительное (возможно, нецелое) число  <i>a</i> ≠ 1,  и разрезать этот кусок в отношении  1 : <i>a</i>  по весу, затем разрезать в том же отношении любой из имеющихся кусков, и т. д. Можно ли действовать так, что после конечного числа разрезаний весь сыр удастся разложить на две кучки равного веса?

  б) Тот же вопрос, но выбирается положительное рациональное  <i>a</i> ≠ 1.