Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс» - сложность 2-5 с решениями
осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
НазадВ бесконечной последовательности <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ... число <i>a</i><sub>1</sub> равно 1, а каждое следующее число <i>a<sub>n</sub></i> строится из предыдущего <i>a</i><sub><i>n</i>–1</sub> по правилу: если у числа <i>n</i> наибольший нечётный делитель имеет остаток 1 от деления на 4, то <i>a<sub>n</sub> = a</i><sub><i>n</i>–1</sub> + 1, если же остаток равен 3, то <i>a<sub>n</sub> = a</i><sub><i>n</i>–1</sub> – 1. Докажите, что в этой последовательности
а) число 1 встреч...
На сторонах <i>AC</i> и <i>BC</i> неравнобедренного треугольника <i>ABC</i> во внешнюю сторону построены как на основаниях равнобедренные треугольники <i>AB'C</i> и <i>CA'B</i> с одинаковыми углами при основаниях, равными φ. Перпендикуляр, проведённый из вершины <i>C</i> к отрезку <i>A'B'</i>, пересекает серединный перпендикуляр к отрезку <i>AB</i> в точке <i>C</i><sub>1</sub>. Найдите угол <i>AC</i><sub>1</sub><i>B</i>.
Даны положительные числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>. Известно, что <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> + ... + <i>a<sub>n</sub></i> ≤ ½. Докажите, что (1 + <i>a</i><sub>1</sub>)(1 + <i>a</i><sub>2</sub>)...(1 + <i>a<sub>n</sub></i>) < 2.
Барон Мюнхгаузен рассказывал, что у него есть карта страны Оз с пятью городами. Каждые два города соединены дорогой, не проходящей через другие города. Каждая дорога пересекает на карте не более одной другой дороги (и не более одного раза). Дороги обозначены жёлтым или красным (по цвету кирпича, которым вымощены), и при обходе вокруг каждого города (по периметру) цвета выходящих из него дорог чередуются. Могут ли слова барона быть правдой?
Сережа нарисовал треугольник <i>ABC</i> и провёл в нем медиану <i>AD</i>. Затем он сообщил Илье, какова в этом треугольнике длина медианы <i>AD</i> и какова длина стороны <i>AC</i>. Илья, исходя из этих данных, доказал утверждение: угол <i>CAB</i> тупой, а угол <i>DAB</i> острый. Найдите отношение <i>AD</i> : <i>AC</i> (и докажите для любого треугольника с таким отношением утверждение Ильи).
Есть четыре камня, каждый весит целое число граммов. Есть чашечные весы со стрелкой, показывающей, на какой из двух чаш вес больше и на сколько граммов. Можно ли узнать про все камни, сколько какой весит, за четыре взвешивания, если в одном из этих взвешиваний весы могут ошибиться на 1 грамм?
На шахматной доске 100×100 расставлено 100 не бьющих друг друга ферзей.
Докажите, что в каждом угловом квадрате 50×50 находится хотя бы один ферзь.