Олимпиадная задача по планиметрии для 8-10 класса от Заславского А. А.

Решение 1:Проведём гомотетию с центром C и коэффициентом 2. Отрезок A'B' перейдёт в отрезок A₁B₁. Пусть P – точка пересечения A₁B₁ с CC₁. Точки A и P лежат на окружности с диаметром CB₁, а точки B и P – на окружности с диаметром CA₁, поэтому  ∠APB₁ = ∠ACB₁ = φ = ∠BCA₁ = ∠BPA₁,  следовательно, CC₁ – биссектриса угла APB, который равен  180° – 2φ  (вне зависимости от того, лежит ли P между C и C₁ или нет). Значит, C₁ – середина дуги AB описанной окружности треугольника APB, и  ∠AC₁B = 180° – (180° – 2φ) = 2φ.

Решение 2:Пусть A₂, B₂, C₂ – середины сторон BC, AC, AB. Повернём четырёхугольник B'B₂A₂A' на 90° вокруг точки B₂ и применим к нему гомотетию с центром B₂ и коэффициентом ctg φ. Получится четырёхугольник CB₂A₃C₃.   CC₃ ⊥ B'A', значит, прямые CC₃ и CC₁ совпадают. С другой стороны,

A₃C₃ || BC || B₂C₂  и  A₃C₃ = CA₂ = B₂C₂,  то есть B₂A₃C₃C₂ – параллелограмм. Поэтому  C₂C₃ || B₂A₃ ⊥ B₂A₂ || AB,  то есть прямые C₂C₃ и C₂C₁ совпадают. Следовательно, C₃ совпадает с C₁. Но  C₂C₃ : AC₂ = A₃B₂ : B₂A₂ = ctg φ,  откуда  ∠AC₃C₂ = φ.

2φ.