Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс» для 5-8 класса

Дана неравнобокая трапеция <i>ABCD</i>. Точка <i>A</i>₁ – это точка пересечения описанной окружности треугольника <i>BCD</i> с прямой <i>AC</i>,

отличная от <i>C</i>. Аналогично определяются точки <i>B</i>₁, <i>C</i>₁, <i>D</i>₁. Докажите, что <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ – тоже трапеция.

На столе лежат  <i>N</i> > 2  кучек по одному ореху в каждой. Двое ходят по очереди. За ход нужно выбрать две кучки, где числа орехов взаимно просты, и объединить эти кучки в одну. Выиграет тот, кто сделает последний ход. Для каждого <i>N</i> выясните, кто из играющих может всегда выигрывать, как бы ни играл его противник.

Пространство разбито на одинаковые кубики. Верно ли, что для каждого из этих кубиков обязательно найдётся другой, имеющий с ним общую грань?

Квадратная доска разделена семью прямыми, параллельными одной стороне доски, и семью прямыми, параллельными другой стороне доски, на 64 прямоугольные клетки, которые покрашены в белый и чёрный цвета в шахматном порядке. Расстояния между соседними прямыми не обязательно одинаковы, поэтому клетки могут быть разных размеров. Известно, однако, что отношение площади каждой белой клетки к площади любой чёрной клетки не больше 2. Найдите наибольшее возможное отношение суммарной площади белых клеток к суммарной площади чёрных.