Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 8-9 класс» - сложность 3 с решениями

Пусть  <img width="120" height="41" align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109193/problem_109193_img_2.gif"> = <img width="23" height="47" align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109193/problem_109193_img_3.gif">,  где  <img width="23" height="47" align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109193/problem_109193_img_3.gif">  – несократимая дробь.

Докажите, что неравенство  <i>b</i>_<i>n</i>+1 < <i>b_n</i> выполнено для бесконечного числа натуральных <i>n</i>.

<i>Обёрткой</i> плоской картины размером 1×1 назовём прямоугольный лист бумаги площади 2, которым можно, не разрезая его, полностью обернуть картину с обеих сторон. Например, прямоугольник 2×1 и квадрат со стороной  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109192/problem_109192_img_2.gif">   – обёртки.

  а) Докажите, что есть и другие обёртки.   б) Докажите, что обёрток бесконечно много.

<img align="right" src="/storage/problem-media/109190/problem_109190_img_2.gif"> В квадрате 3×3 расставлены числа (см. рис.). Известно, что квадрат магический: сумма чисел в каждом столбце, в каждой строке и на каждой диагонали одна и та же. Докажите, что

  а)  2(<i>a + c + g + i</i>) = <i>b + d + f + h</i> + 4<i>e</i>.

  б)  2(<i>a</i>³ + <i>c</i>³ + <i>g</i>³ + <i>i</i>³) = <i>b</i>³ + <i>d</i>³ + <i>f</i> ³ + <i>h</i>³ + 4<i>e</i>³.

Попав в новую компанию, Чичиков узнавал, кто с кем знаком. А чтобы запомнить это, он рисовал окружность и изображал каждого члена компании хордой, причём хорды знакомых между собой пересекались, а незнакомых – нет. Чичиков уверен, что такой набор хорд есть для любой компании. Прав ли он? (Совпадение концов хорд считается пересечением.)