Олимпиадная задача про знакомства Чичикова: хорды на окружности и планиметрия
Задача
Попав в новую компанию, Чичиков узнавал, кто с кем знаком. А чтобы запомнить это, он рисовал окружность и изображал каждого члена компании хордой, причём хорды знакомых между собой пересекались, а незнакомых – нет. Чичиков уверен, что такой набор хорд есть для любой компании. Прав ли он? (Совпадение концов хорд считается пересечением.)
Решение
Вот контрпример для семи человек. Пусть есть хозяин, три его сына и три гостя. Гости попарно незнакомы, хозяин с ними всеми знаком, а три сына знакомы с тремя разными парами гостей. Хорды гостей пересекают хорду хозяина в трёх различных точках. Одна точка – средняя, две – крайние, соответственно назовём средними и крайними и хорды гостей, и самих гостей. Ясно, что крайние хорды лежат по разные стороны от средней. Хорда сына, знакомого лишь с крайними гостями должна пересечь крайние хорды, но не пересечь среднюю. Противоречие.
Ответ
Не прав.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь