Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 8-9 класс» - сложность 1-4 с решениями

Пусть <i>A</i> и <i>B</i> – два прямоугольника. Из прямоугольников, равных <i>A</i>, сложили прямоугольник, подобный <i>B</i>.

Докажите, что из прямоугольников, равных <i>B</i>, можно сложить прямоугольник, подобный <i>A</i>.

Двое делят кусок сыра. Сначала первый режет сыр на два куска, потом второй – любой из кусков на два, и так далее, пока не получится пять кусков. Затем первый берёт себе один кусок, потом второй – один из оставшихся кусков, потом снова первый – и так, пока куски не закончатся. Для каждого игрока выяснить, какое наибольшее количество сыра он может себе гарантировать.

В треугольнике <i>ABC</i> на стороне <i>BC</i> отмечена точка <i>K</i>. В треугольники <i>ABK</i> и <i>ACK</i> вписаны окружности, первая касается стороны <i>BC</i> в точке <i>M</i>, вторая – в точке <i>N</i>. Докажите, что  <i>BM·CN > KM·KN</i>.

Ваня задумал два положительных числа <i>x</i> и <i>y</i>. Он записал числа  <i>x + y,  x – y,  xy</i> и <i>^x</i>/_<i>y</i> и показал их Пете, но не сказал, какое число какой операцией получено. Докажите, что Петя сможет однозначно восстановить <i>x</i> и <i>y</i>.

Какое наибольшее число коней можно расставить на шахматной доске так, чтобы каждый бил не более семи из остальных?

Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> в точках <i>A', B'</i> и <i>C'</i>. Известно, что  <i>AA' = BB' = CC'</i>.

Обязательно ли треугольник <i>ABC</i> правильный?

Назовём треугольник <i>рациональным</i>, если все его углы измеряются рациональным числом градусов. Назовём точку внутри треугольника <i>рациональной</i>, если при соединении её отрезками с вершинами мы получим три рациональных треугольника. Докажите, что внутри любого остроугольного рационального треугольника найдутся как минимум три различные рациональные точки.