Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс» для 5-11 класса - сложность 2-5 с решениями

Имеются плашки (вырезанные из картона прямоугольники) размера 2×1. На каждой плашке нарисована одна диагональ. Есть плашки двух сортов, так как диагональ можно расположить двумя способами, причём плашек каждого сорта имеется достаточно много. Можно ли выбрать 32 плашки и сложить из них квадрат 8×8 так, чтобы концы диагоналей нигде не совпали?

Можно ли отметить на числовой оси 50 отрезков (быть может, перекрывающихся) так, что их длины – 1, 2, 3, ... , 50, а их концы – все целые точки от 1 до 100 включительно?

В пространстве проведено <i>n</i> плоскостей. Каждая пересекается ровно с 1999 другими. Найдите все <i>n</i>, при которых это возможно.

Докажите, что существует бесконечно много нечётных <i>n</i>, для которых число  2<i>ⁿ + n</i>  – составное.

В треугольнике точку пересечения биссектрис соединили с вершинами, в результате он разбился на 3 меньших треугольника. Один из меньших треугольников подобен исходному. Найдите его углы.