Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 10-11 класс» - сложность 2-4 с решениями

<i>CM</i> и <i>BN</i> – медианы треугольника <i>ABC, P</i> и <i>Q</i> – такие точки соответственно на <i>AB</i> и <i>AC</i>, что биссектриса угла <i>C</i> треугольника одновременно является биссектрисой угла <i>MCP</i>, а биссектриса угла <i>B</i> – биссектрисой угла <i>NBQ</i>. Оказалось, что  <i>AP = AQ</i>.  Следует ли из этого, что треугольник <i>ABC</i> равнобедренный?

Каждая сторона правильного треугольника разбита на <i>n</i> равных отрезков, и через все точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. Данный треугольник разбился на <i>n</i>² маленьких треугольников-клеток. Треугольники, расположенные между двумя соседними параллельными прямыми, образуют полоску.

  а) Какое наибольшее число клеток можно отметить, чтобы никакие две отмеченные клетки не принадлежали одной полоске ни по одному из трёх направлений, если  <i>n</i> = 10?

  б) Тот же вопрос для  <i>n</i> = 9.

Дима придумал секретный шифр: каждая буква заменяется на слово длиной не больше 10 букв. Шифр называется <i>хорошим</i>, если всякое зашифрованное слово расшифровывается однозначно. Серёжа убедился (с помощью компьютера), что если зашифровать слово длиной не больше 10000 букв, то результат расшифровывается однозначно. Следует ли из этого, что шифр хороший? (В алфавите 33 буквы, под "словом" мы понимаем любую последовательность букв, независимо от того, имеет ли она смысл.)

а) На стол положили (с перекрытиями) несколько одинаковых салфеток, имеющих форму правильного шестиугольника, причём у всех салфеток одна сторона параллельна одной и той же прямой. Всегда ли можно вбить в стол несколько гвоздей так, что все салфетки будут прибиты, причём каждая – только одним гвоздём?

б) Тот же вопрос про правильные пятиугольники.

Перемножаются все выражения вида   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98373/problem_98373_img_2.gif">   (при всевозможных комбинациях знаков).

Докажите, что результат   а) целое число,   б) квадрат целого числа.

Верны ли утверждения:

  а) Если многоугольник можно разбить ломаной на два равных многоугольника, то его можно разбить отрезком на два равных многоугольника.

  б) Если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два равных многоугольника, то его можно разбить отрезком на два равных многоугольника.

  в) Если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два многоугольника, которые можно перевести друг в друга движением, сохраняющим ориентацию (то есть поворотом или параллельным переносом), то его можно разбить отрезком на два многоугольника, которые можно перевести друг в друга таким же движением.