Олимпиадная задача по планиметрии и комбинаторной геометрии для 10–11 классов о шестиугольниках и пятиугольниках

  а) Назовём плиткой шестиугольник, равный салфетке и с горизонтальной (параллельной общей прямой из условия) стороной. Заметим, что центр плитки будет внутри/на границе салфетки тогда и только тогда, когда центр салфетки находится внутри/на границе плитки (при симметрии относительно середины отрезка, соединяющего эти центры, салфетка переходит в плитку). Назовем паркетом разбиение плоскости стола на плитки. Пусть нам удалось сделать удачный паркет: ни один центр салфетки не попал на границу плитки паркета. Тогда центр каждой салфетки лежит внутри какой-нибудь одной плитки. Центр этой (и только этой) плитки лежит внутри салфетки – в него и вобьём гвоздь.

  Если наугад выбранный паркет оказался неудачным, выберем направление, не параллельное сторонам плиток. Проведём из центра каждой салфетки луч в этом направлении. Не считая центра, луч впервые пересечёт границу плиток на некотором расстоянии от центра. Пусть d меньше всех этих расстояний, но больше нуля. Если сдвинуть паркет на расстояние d в направлении, противоположном выбранному, то центры салфеток на границы плиток не попадут, а те, что были на границах, – уйдут.   б) Построим контрпример. Будем считать, что все салфетки расположены горизонтальной стороной вниз.

  Положим на стол лист миллиметровой бумаги размером  1 м × 1 м  (одна из сторон листа горизонтальна). Затем разложим поверх него салфетки со стороной 10 см, так, чтобы центры всех салфеток попали во все узлы миллиметровки. Предположим, что удалось вбить в стол гвозди в соответствии с условием задачи.

  Рассмотрим гвоздь Г, вбитый в салфетку, центр которой совпадает с центром листа. Среди салфеток, прибитых этим гвоздем, рассмотрим те, от нижнего основания которых Г отстоит не более чем на 1 мм. Выберем среди этих салфеток 90, "идущих подряд", то есть получающихся друг из друга сдвигом

на 1 мм по горизонтали. Эти 90 салфеток в совокупности покрывают область Z, представляющую собой шестиугольник с 90 маленькими треугольными "зубчиками" на верхней стороне (на рисунке зубчики не изображены).

  Рассмотрим теперь две салфеткиAиB, получающиеся сдвигом на 1 мм вверх 30-й и 60-й из указанных салфеток. Ясно, что     1) эти салфетки не пробиты гвоздем Г;     2) лишь небольшие частиA₀иB₀этих салфеток (кусочки, прилегающие к верхней вершине), выходят за пределы областиZ;     3)A₀иB₀не пересекаются.   Таким образом, вA₀и вB₀должны быть вбиты гвозди. Эти гвозди можно покрыть прямоугольником (см. рис.), с горизонтальной стороной 90 мм и вертикальной – 2 мм. Очевидно, что на столе имеется много салфеток, каждая из которых целиком покрывает этот прямоугольник. Все эти салфетки, тем самым, пробиты двумя гвоздями. Противоречие.

а) Всегда; б) не всегда.