Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, основной вариант, 8-9 класс» - сложность 2 с решениями
весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
НазадЗаданы две непересекающиеся окружности с центрами <i>O</i><sub>1</sub> и <i>O</i><sub>2</sub> и их общая внешняя касательная, касающаяся окружностей соответственно в точках <i>A</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>2</sub>. Пусть <i>B</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>2</sub> – точки пересечения отрезка <i>O</i><sub>1</sub><i>O</i><sub>2</sub> с соответствующими окружностями, а <i>C</i> – точка пересечения прямых <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub>. Докажит...
В ряд выписаны действительные числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ..., <i>a</i><sub>1996</sub>. Докажите, что можно выделить одно или несколько стоящих рядом чисел так, что их сумма будет отличаться от целого числа меньше, чем на 0,001.
Положительные числа <i>a, b, c</i> таковы, что <i>a</i>² + <i>b</i>² – <i>ab = c</i>². Докажите, что (<i>a – c</i>)(<i>b – c</i>) ≤ 0.