Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 10-11 класс» для 8-10 класса - сложность 1-3 с решениями

В треугольник <i>ABC</i> вписана окружность с центром <i>O</i>. Медиана <i>AD</i> пересекает её в точках <i>X</i> и <i>Y</i>. Найдите угол <i>XOY</i>, если  <i>AC = AB + AD</i>. <small>Также доступны документы в формате <a href="https://problems.ru/images/problem_108067_img_4.gif">TeX</a></small>

Рассматривается последовательность, <i>n</i>-й член которой есть первая цифра числа 2^<i>n</i>.

Докажите, что количество различных "слов" длины 13 – наборов из 13 подряд идущих цифр – равно 57.

Периоды двух последовательностей – <i>m</i> и <i>n</i> – взаимно простые числа. Какова максимальная длина начального куска, который может у них совпадать?

Докажите, что для любых положительных чисел <i>а</i>₁, ..., <i>a_n</i> справедливо неравенство

<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98245/problem_98245_img_2.gif">

Покажите, как разбить пространство

  а) на одинаковые тетраэдры,

  б) на одинаковые равногранные тетраэдры

(тетраэдр называется <i>равногранным</i>, если все его грани – равные треугольники).

Коэффициенты квадратного уравнения  <i>x</i>² + <i>px + q</i> = 0  изменили не больше чем на 0,001.

Может ли больший корень уравнения измениться больше, чем на 1000?

Фигура Ф представляет собой пересечение <i>n</i> кругов  (<i>n</i> ≥ 2,  радиусы не обязательно одинаковы). Какое максимальное число криволинейных "сторон" может иметь фигура Ф?  (Криволинейная сторона – это участок границы Ф, принадлежащий одной из окружностей и ограниченный точками пересечения с другими окружностями.)