Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 10-11 класс» для 2-10 класса - сложность 2-3 с решениями

Куб с ребром <i>n</i> составлен из белых и чёрных кубиков с ребром 1 таким образом, что каждый белый кубик имеет общую грань ровно с тремя чёрными, а каждый чёрный – ровно с тремя белыми. При каких <i>n</i> это возможно?

Биссектриса угла <i>A</i> треугольника <i>ABC</i> пересекает описанную окружность в точке <i>D</i>. Пусть <i>P</i> – точка, симметричная центру вписанной окружности треугольника <i>ABC</i> относительно середины стороны <i>BC, M</i> – вторая точка пересечения прямой <i>DP</i> с описанной окружностью. Докажите, что расстояние от точки <i>M</i> до одной из вершин <i>A, B, C</i> равно сумме расстояний от <i>M</i> до двух других вершин.

В таблице <i>m</i> строк, <i>n</i> столбцов. <i>Горизонтальным ходом</i> называется такая перестановка элементов таблицы, при которой каждый элемент остаётся в той строке, в которой он был и до перестановки; аналогично определяется <i>вертикальный ход</i> ("строка" в предыдущем определении заменяется на "столбец"). Укажите такое <i>k</i>, что за <i>k</i> ходов (любых) можно получить любую перестановку элементов таблицы, но существует такая перестановка, которую нельзя получить за меньшее число ходов.

Числовая последовательность определяется условиями:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98159/problem_98159_img_2.gif">

Сколько полных квадратов встречается среди первых членов этой последовательности, не превосходящих 1000000?

Докажите, что существует такой набор из 100 различных натуральных чисел <i>c</i>₁, <i>c</i>₂, ..., <i>c</i>₁₀₀, что для любых двух соседних чисел <i>c_i</i> и <i>c</i>_<i>i</i>+1 этого набора сумма   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98157/problem_98157_img_2.gif">   есть квадрат целого числа.