Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс»
весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
НазадИз центра <i>O</i> правильного <i>n</i>-угольника <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A<sub>n</sub></i> проведены <i>n</i> векторов в его вершины. Даны такие числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>, что
<i>a</i><sub>1</sub> > <i>a</i><sub>2</sub> > ... > <i>a<sub>n</sub></i> > 0. Докажите, что линейная комбинация векторов <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/108112/problem_108112_img_2.gif"> отлична от нулевого вектора.
Стороны треугольника равны 3, 4 и 5. Биссектрисы внешних углов треугольника продолжены до пересечения с продолжениями сторон.
Докажите, что одна из трёх полученных точек есть середина отрезка, соединяющего две другие.
По окружности выписано 10 чисел, их сумма равна 100. Известно, что сумма каждой тройки чисел, стоящих подряд, не меньше 29.
Укажите такое наименьшее число <i>A</i>, что в любом таком наборе чисел каждое из чисел не превышает <i>A</i>.
Первого числа некоторого месяца в магазине было 10 видов товаров по одинаковой цене за штуку. После этого каждый день каждый товар дорожает либо в 2 раза, либо в 3 раза. Первого числа следующего месяца все цены оказались различными. Докажите, что отношение максимальной цены к минимальной больше 27.