Олимпиадная задача о шестерёнках: задача по делимости для 8-10 классов
Задача
а) Даны две одинаковые шестерёнки с 14 зубьями каждая. Их наложили друг на друга так, что зубья совпали (так что проекция на плоскость выглядит как одна шестерёнка). После этого четыре пары совпадающих зубьев выпилили. Всегда ли можно повернуть эти шестерёнки друг относительно друга так, чтобы проекция на плоскость выглядела как одна целая шестерёнка? (Шестерёнки можно поворачивать, но нельзя переворачивать.) б) Тот же вопрос про две шестерёнки с 13 зубьями, из которых выпилили по 4 зуба.
Решение
a) В начальном положении совпадает четыре выпиленных пары зубьев (один зуб на первой шестеренке и один – на второй). Всего таких пар 16. Значит, в одном из 13 оставшихся положений никакая пара не совпадает. б) Контрпример: занумеруем зубья по порядку и выпилим зубья с номерами 1, 2, 5, 7. Как легко проверить, разности этих чисел дают все 13 чисел
0, 1, 2 ... , 12 (mod 13). Поэтому при каждом повороте ровно одна пара "выпиленных зубьев" совпадает.
Ответ
а) Всегда; б) не всегда.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь