Олимпиадные задачи из источника «XI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2015 г.)» для 10 класса - сложность 2 с решениями
XI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2015 г.)
НазадДиагонали выпуклого четырехугольника делят его на четыре подобных треугольника. Докажите, что в него можно вписать окружность.
В прямоугольном неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> точка <i>M</i> – середина гипотенузы <i>AC</i>, точки <i>H<sub>a</sub></i>, <i>H<sub>c</sub></i> – ортоцентры треугольников <i>ABM, CBM</i> соответственно, прямые <i>AH<sub>c</sub>, CH<sub>a</sub></i> пересекаются в точке <i>K</i>. Докажите, что ∠<i>MBK</i> = 90°.
Пусть <i>K</i> – точка на стороне <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i>, <i>KN</i> – биссектриса треугольника <i>AKC</i>. Прямые <i>BN</i> и <i>AK</i> пересекаются в точке <i>F</i>, а прямые <i>CF</i> и <i>AB</i> – в точке <i>D</i>. Докажите, что <i>KD</i> – биссектриса треугольника <i>AKB</i>.
В неравнобедренном прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> точка <i>M</i> – середина гипотенузы <i>AC</i>, точки <i>H<sub>a</sub>, H<sub>c</sub></i> – ортоцентры треугольников <i>ABM, CBM</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>AH<sub>c</sub>, CH<sub>a</sub></i> пересекаются на средней линии треугольника <i>ABC</i>.
Пусть <i>C</i> – одна из точек пересечения окружностей α и β. Касательная в этой точке к α пересекает β в точке <i>B</i>, а касательная в <i>C</i> к β пересекает α в точке <i>A</i>, причём <i>A</i> и <i>B</i> отличны от <i>C</i>, и угол <i>ACB</i> тупой. Прямая <i>AB</i> вторично пересекает α и β в точках <i>N</i> и <i>M</i> соответственно. Докажите, что 2<i>MN < AB</i>.
Через вершины <i>B</i> и <i>C</i> треугольника <i>ABC</i> провели перпендикулярно прямой <i>BC</i> прямые <i>b</i> и <i>c</i> соответственно. Серединные перпендикуляры к сторонам <i>AC</i> и <i>AB</i> пересекают прямые <i>b</i> и <i>c</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Докажите, что прямая <i>PQ</i> перпендикулярна медиане <i>AM</i> треугольника <i>ABC</i>.
Есть два равных фанерных треугольника, один из углов которых равен α (эти углы отмечены). Расположите их на плоскости так, чтобы какие-то три вершины образовали угол, равный <sup>α</sup>/<sub>2</sub>. (Никакими инструментами, даже карандашом, пользоваться нельзя.)
Пусть <i>ABCD</i> – трапеция, в которой углы <i>A</i> и <i>B</i> прямые, <i>AB = AD, CD = BC + AD, BC < AD</i>.
Докажите, что угол <i>ADC</i> в два раза больше угла <i>ABE</i>, где <i>E</i> – середина <i>AD</i>.