Олимпиадные задачи из источника «II Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2006 г.)» для 7-8 класса - сложность 3 с решениями
Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения высот неравностороннего треугольника <i>ABC</i>, делит его периметр и площадь в одном и том же отношении. Найдите это отношение.
Существует ли выпуклый многоугольник, у которого каждая сторона равна какой-нибудь диагонали, а каждая диагональ– какой-нибудь стороне?
Две равные окружности пересекаются в точках<i> A </i>и<i> B </i>.<i> P </i>– отличная от<i> A </i>и<i> B </i>точка одной из окружностей,<i> X </i>,<i> Y </i>– вторые точки пересечения прямых<i> PA </i>,<i> PB </i>с другой окружностью. Докажите, что прямая, проходящая через<i> P </i>и перпендикулярная<i> AB </i>, делит одну из дуг<i> XY </i>пополам.
При каком наименьшем<i> n </i>существует<i> n </i>-угольник, который можно разрезать на треугольник, четырехугольник, ..., 2006-угольник?