Олимпиадные задачи из источника «10 класс» для 10 класса
10 класс
НазадПусть <i>H</i> – ортоцентр треугольника <i>ABC, X</i> – произвольная точка. Окружность с диаметром <i>XH</i> вторично пересекает прямые <i>AH, BH, CH</i> в точках <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub>, а прямые <i>AX, BX, CX</i> в точках <i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>2</sub>, <i>C</i><sub>2</sub>. Доказать, что прямые <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub>, <i> C</i><sub>1</sub><i>C</i&...
На плоскости даны два отрезка <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub>, причём <sup><i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub></sup>/<sub><i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub></sub> = <i>k</i> < 1. На отрезке <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub> взята точка <i>A</i><sub>3</sub>, а на продолжении этого отрезка за точку <i>А</i><sub>2</sub> – точка <i>А</i><sub>4</sub> так, что <sup><i>...
В окружности с центром <i>O</i> проведены две параллельные хорды <i>AB</i> и <i>CD</i>. Окружности с диаметрами <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>P</i>.
Доказать, что середина отрезка <i>OP</i> равноудалена от прямых <i>AB</i> и <i>CD</i>.
Дан выпуклый четырёхугольник без параллельных сторон. Для каждой тройки его вершин строится точка, дополняющая эту тройку до параллелограмма, одна из диагоналей которого совпадает с диагональю четырёхугольника. Доказать, что из четырёх построенных точек ровно одна лежит внутри исходного четырёхугольника.