Олимпиадные задачи из источника «2015 год» для 8 класса - сложность 2 с решениями
В турнире участвовали 50 шахматистов. В некоторый момент турнира была сыграна 61 партия, причём каждый участник сыграл либо две партии, либо три (и никто не играл друг с другом дважды). Могло ли оказаться так, что никакие два шахматиста, сыгравшие по три партии, не играли между собой?
Каково наибольшее количество последовательных натуральных чисел, у каждого из которых ровно четыре натуральных делителя (включая 1 и само число)?
В клетках квадрата 3×3 записаны буквы (см. рисунок). Можно ли их расставить так, чтобы каждые две буквы, исходно отстоявшие на ход коня, после перестановки оказались в клетках, отстоящих на ход короля? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65516/problem_65516_img_2.png"></div>
Известно, что <i>a</i>² + <i>b = b</i>² + <i>c = c</i>² + <i>a</i>. Какие значения может принимать выражение <i>a</i>(<i>a</i>² – <i>b</i>²) + <i>b</i>(<i>b</i>² – <i>c</i>²) + <i>c</i>(<i>c</i>² – <i>a</i>²)?
Внутри равностороннего треугольника <i>ABC</i> отмечена произвольная точка <i>M</i>. Докажите, что можно выбрать на стороне <i>AB</i> точку <i>C</i><sub>1</sub>, на стороне <i>BC</i> – точку <i>A</i><sub>1</sub>, а на стороне <i>AC</i> – точку <i>B</i><sub>1</sub> таким образом, чтобы длины сторон треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> были равны отрезкам <i>MA, MB</i> и <i>MC</i>.
Двенадцать стульев стоят в ряд. Иногда на один из свободных стульев садится человек. При этом ровно один из его соседей (если они были) встаёт и уходит. Какое наибольшее количество человек могут одновременно оказаться сидящими, если вначале все стулья были пустыми?
<i>ABCD</i> – выпуклый четырёхугольник. Известно, что ∠<i>CAD</i> = ∠<i>DBA</i> = 40°, ∠<i>CAB</i> = 60°, ∠<i>CBD</i> = 20°. Найдите угол <i>CDB</i>.
Сорока-ворона кашу варила, деток кормила. Третьему птенцу досталось столько же каши, сколько первым двум вместе взятым. Четвёртому – столько же, сколько второму и третьему. Пятому – столько же, сколько третьему и четвёртому. Шестому – столько же, сколько четвёртому и пятому. А седьмому не досталось – каша кончилась! Известно, что пятый птенец получил 10 г каши. Сколько каши сварила сорока-ворона?
Натуральное число <i>n</i> называется <i>хорошим</i>, если после приписывания его справа к любому натуральному числу получается число, делящееся на <i>n</i>. Запишите десять хороших чисел, которые меньше чем 1000.