Олимпиадные задачи из источника «11 класс»

В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде середина <i>N</i> ребра <i>B</i>₁<i>C</i>₁ верхней грани <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ соединена с серединой <i>M</i> ребра <i>AB</i> нижней грани <i>ABCD</i>. Прямые <i>B</i>₁<i>C</i>₁ и <i>AB</i> не лежат в одной плоскости. Докажите, что проекции рёбер <i>B</i>₁<i>C</i>₁ и <i>AB</i> на прямую <i>MN</i> равн...

В десятичной записи некоторого числа цифры расположены слева направо в порядке убывания. Может ли это число быть кратным числу 111?

Точка <i>Х</i> расположена на диаметре <i>АВ</i> окружности радиуса <i>R</i>. Точки <i>K</i> и <i>N</i> лежат на окружности в одной полуплоскости относительно <i>АВ</i>,

а  ∠<i>KXA</i> = ∠<i>NXB</i> = 60°.  Найдите длину отрезка <i>KN</i>.

Функция <i>f</i>(<i>x</i>) такова, что для всех значений <i>x</i> выполняется равенство  <i>f</i>(<i>x</i> + 1) = <i>f</i>(<i>x</i>) + 2<i>x</i> + 3.  Известно, что  <i>f</i>(0) = 1.  Найдите <i>f</i>(2012).

Туристическая фирма провела акцию: "Купи путевку в Египет, приведи четырёх друзей, которые также купят путевку, и получи стоимость путевки обратно". За время действия акции 13 покупателей пришли сами, остальных привели друзья. Некоторые из них привели ровно по четыре новых клиента, а остальные 100 не привели никого. Сколько туристов отправились в Страну Пирамид бесплатно?

Известно, что  tg <i>A</i> + tg <i>B</i> = 2  и  ctg <i>A</i> + ctg <i>B</i> = 3.  Найдите  tg (<i>A + B</i>).