Олимпиадные задачи из источника «11 класс»

Какое наименьшее количество клеток требуется отметить на шахматной доске, чтобы каждая клетка доски (отмеченная или неотмеченная) граничила по стороне хотя бы с одной отмеченной клеткой?

Известно, что <i>A</i> – наибольшее из чисел, являющихся произведением нескольких натуральных чисел, сумма которых равна 2011.

На какую наибольшую степень тройки делится число <i>A</i>?

Две окружности касаются внешним образом. <i>A</i> – точка касания их общей внешней касательной с одной из окружностей, <i>B</i> – точка той же окружности, диаметрально противоположная точке <i>A</i>. Докажите, что длина касательной, проведённой из точки <i>B</i> ко второй окружности, равна диаметру первой окружности.

Длина ребра правильного тетраэдра равна <i>a</i>. Через одну из вершин тетраэдра проведено треугольное сечение.

Докажите, что периметр <i>P</i> этого треугольника удовлетворяет неравенству  <i>P</i> > 2<i>a</i>.

На доске записали 20 первых чисел натурального ряда. Когда одно из чисел стёрли, то оказалось, что среди оставшихся чисел одно является средним арифметическим всех остальных. Найдите все числа, которые могли быть стёрты.

Про углы треугольника <i>ABC</i> известно, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116493/problem_116493_img_2.gif">   и   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116493/problem_116493_img_3.gif"> .   Найдите величину угла <i>C</i>.