Олимпиадные задачи из источника «10 (2012 год)» для 1-8 класса - сложность 3 с решениями
10 (2012 год)
НазадВосстановите треугольник с помощью циркуля и линейки по точке пересечения высот и основаниям медианы и биссектрисы, проведённых к одной из сторон.
Дана окружность и хорда <i>AB</i>, отличная от диаметра. По большей дуге <i>AB</i> движется точка <i>C</i>. Окружность, проходящая через точки <i>A</i>, <i>C</i> и точку <i>H</i> пересечения высот треугольника <i>ABC</i>, повторно пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>P</i>. Докажите, что прямая <i>PH</i> проходит через фиксированную точку, не зависящую от положения точки <i>C</i>.
В треугольнике <i>ABC</i> точка <i>I</i> – центр вписанной окружности, точки <i>I<sub>A</sub></i>, <i>I<sub>C</sub></i> – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон <i>BC</i> и <i>AB</i> соответственно. Точка <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>II<sub>A</sub>I<sub>C</sub></i>. Докажите, что <i>OI</i> ⊥ <i>AC</i>.
Дан равносторонний треугольник <i>ABC</i> и прямая <i>l</i>, проходящая через его центр. Точки пересечения этой прямой со сторонами <i>AB</i> и <i>BC</i> отразили относительно середин этих сторон соответственно. Докажите, что прямая, проходящая через получившиеся точки, касается вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.