Олимпиадные задачи из источника «09 (2011 год)» - сложность 2 с решениями
09 (2011 год)
НазадПрямая <i>a</i> пересекает плоскость α. Известно, что в этой плоскости найдутся 2011 прямых, равноудаленных от <i>a</i> и не пересекающих <i>a</i>.
Bерно ли, что <i>a</i> перпендикулярна α?
Один треугольник лежит внутри другого.
Докажите, что хотя бы одна из двух наименьших сторон (из шести) является стороной внутреннего треугольника.
Пусть <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub> – высоты неравнобедренного остроугольного треугольника <i>AB, M</i> – середина <i>AB</i>. Описанные окружности треугольников <i>AMA</i><sub>1</sub> и <i>BMB</i><sub>1</sub>, пересекают прямые <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно. Докажите, что <i>K, M</i> и <i>L</i> лежат на одной прямой.
B трапеции <i>ABCD</i> <i>AB</i> = <i>BC</i> = <i>CD</i>, <i>CH</i> – высота. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из <i>H</i> на <i>AC</i>, проходит через середину <i>BD</i>.
Из листа бумаги в клетку вырезали квадрат 2×2.
Используя только линейку без делений и не выходя за пределы квадрата, разделите диагональ квадрата на 6 равных частей.