Олимпиадные задачи из источника «06 (2008 год)» для 2-11 класса - сложность 3-5 с решениями

Дан треугольник <i>ABC</i> и точки <i>P</i> и <i>Q</i>. Известно, что треугольники, образованные проекциями <i>P</i> и <i>Q</i> на стороны <i>ABC</i>, подобны (соответствуют друг другу вершины, лежащие на одних и тех же сторонах исходного треугольника). Докажите, что прямая <i>PQ</i> проходит через центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Есть два платка: один в форме квадрата, другой – в форме правильного треугольника, причём их периметры одинаковы.

Cуществует ли многогранник, который можно полностью оклеить этими двумя платками без наложений (платки можно сгибать, но нельзя резать)?

B треугольнике <i>ABC</i> угол <i>A</i> равен 120°. Докажите, что расстояние от центра описанной окружности до ортоцентра равно  <i>AB + AC</i>.

Противоположные стороны выпуклого шестиугольника параллельны. Hазовём <i>высотой</i> такого шестиугольника отрезок с концами на прямых, содержащих противолежащие стороны и перпендикулярный им. Докажите, что вокруг этого шестиугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда его высоты можно параллельно перенести так, чтобы они образовали треугольник.

Bосстановите остроугольный треугольник по ортоцентру и серединам двух сторон.