Олимпиадные задачи из источника «10 класс» - сложность 3-4 с решениями

Найдите наименьшее значение функции   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64677/problem_64677_img_2.gif">

В квадрате <i>ABCD</i> на стороне <i>ВС</i> взята точка <i>М</i>, а на стороне <i>CD</i> – точка <i>N</i> так, что  ∠<i>MAN</i> = 45°.

Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>AMN</i> принадлежит диагонали <i>АС</i>.

Существует ли такой многочлен  <i>f</i>(<i>x</i>) степени 6, что для любого <i>x</i> выполнено равенство  <i>f</i>(sin<i>x</i>) + <i>f</i>(cos<i>x</i>) = 1?