Олимпиадные задачи из источника «2018 год» - сложность 2 с решениями
Решите уравнение $$ x^3+(\log_25+\log_32+\log_53) x=(\log_23+\log_35+\log_52) x^2+1. $$
Графики квадратного трёхчлена и его производной разбивают координатную плоскость на четыре части. Сколько корней имеет этот квадратный трёхчлен?
Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, $AH$ — его высота. Точка $P$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $CO$. Докажите, что прямая $HP$ проходит через середину отрезка $AB$.
В клетчатом квадрате со стороной 2018 часть клеток покрашены в белый цвет, остальные — в чёрный. Известно, что из этого квадрата можно вырезать квадрат $10\times 10$, все клетки которого белые, и квадрат $10\times 10$, все клетки которого чёрные. При каком наименьшем $d$ можно гарантировать, что из него можно вырезать квадрат $10\times 10$, в котором количество чёрных и белых клеток отличается не больше чем на $d$?
Существует ли число, в десятичной записи квадрата которого имеется последовательность цифр «2018»?
Даны четыре палочки. Оказалось, что из любых трёх из них можно сложить треугольник, при этом площади всех четырех треугольников равны. Обязательно ли все палочки одинаковой длины?
В строку выписано 81 ненулевое число. Сумма любых двух соседних чисел положительна, а сумма всех чисел отрицательна. Каким может быть знак произведения всех чисел?
В некотором государстве сложение и вычитание обозначаются знаками "!" и "?", но вам неизвестно, какой знак какой операции соответствует. Каждая операция применяется к двум числам, но про вычитание вам неизвестно, вычитается левое число из правого или правое из левого. К примеру, выражение <i>a</i>?b обозначает одно из следующих: <i>a</i> – <i>b</i>, <i>b</i> – <i>a</i> или <i>a</i> + <i>b</i>. Вам неизвестно, как записываются числа в этом государстве, но переменные <i>a</i>, <i>b</i> и скобки есть и используются как обычно. Объясните, как с помощью них и знаков "!" и "?" записать выражение, которое гарантированно равно 20<i>a</i> –...
Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> отмечена точка <i>K</i>. Точка <i>M</i> – середина <i>BC</i>, точка <i>P</i> – середина <i>KM</i>. Докажите, что если ∠<i>APB</i> = ∠<i>CPD</i> = 90°, то <i>AK = DK</i>.
В строку выписано 39 чисел, не равных нулю. Сумма любых двух соседних чисел положительна, а сумма всех чисел отрицательна. Каким может быть знак произведения всех чисел? (Укажите все варианты и докажите, что других нет.)
Существуют ли такие три попарно различных натуральных числа<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>, что числа<i>a + b + c</i>и<i>a</i>·<i>b</i>·<i>c</i>являются квадратами некоторых натуральных чисел?