Олимпиадные задачи из источника «11 класс»

Миша мысленно расположил внутри данного круга единичного радиуса выпуклый многоугольник, содержащий центр круга, а Коля пытается угадать его периметр. За один шаг Коля указывает Мише какую-либо прямую и узнает от него, пересекает ли она многоугольник. Имеет ли Коля возможность наверняка угадать периметр многоугольника:

а) через 3 шага с точностью до 0,3;

б) через 2007 шагов с точностью до 0,003?

Точки<i> A' </i>,<i> B' </i>и<i> C' </i>"– середины сторон<i> BC </i>,<i> CA </i>и<i> AB </i>треугольника<i> ABC </i>соответственно, а<i> BH </i>"– его высота. Докажите, что если описанные около треугольников<i> AHC' </i>и<i> CHA' </i>окружности проходят через точку<i> M </i>, отличную от<i> H </i>, то<i> <img src="/storage/problem-media/109488/problem_109488_img_2.gif"> ABM=<img src="/storage/problem-media/109488/problem_109488_img_2.gif"> CBB' </i>.

В таблице размера <i>n×n</i> клеток: две противоположные угловые клетки – чёрные, а остальные – белые. Какое наименьшее количество белых клеток достаточно перекрасить в чёрный цвет, чтобы после этого с помощью преобразований, состоящих в перекрашивании всех клеток какого-либо столбца или какой-либо строки в противоположный цвет, можно было сделать чёрными все клетки таблицы?

В основании <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A_n</i> пирамиды <i>SA</i>₁<i>A</i>₂...<i>A_n</i> лежит точка <i>O</i>, причём  <i>SA</i>₁ = <i>SA</i>₂ = ... = <i>SA_n</i>  и  ∠<i>SA</i>₁<i>O</i> =  ∠<i>SA</i>₂<i>O</i> = ... = ∠<i>SA_nO</i>.

При каком наименьшем значении <i>n</i> отсюда следует, что <i>SO</i> – высота пирамиды?

Каким может быть произведение нескольких различных простых чисел, если оно кратно каждому из них, уменьшенному на 1?

Найдите все возможные значения этого произведения.

Значение <i>a</i> подобрано так, что число корней первого из уравнений  4^<i>x</i> – 4^–<i>x</i> = 2 cos <i>ax</i>,  4^<i>x</i> + 4^–<i>x</i> = 2 cos <i>ax</i> + 4  равно 2007.

Сколько корней при том же <i>a</i> имеет второе уравнение?

Круглая мишень разбита на 20 секторов, которые нумеруются по кругу в каком-либо порядке числами 1, 2, ..., 20. Если секторы занумерованы, например, в следующем порядке  1, 20, 5, 12, 9, 14, 11, 8, 16, 7, 19, 3, 17, 2, 15, 10, 6, 13, 4, 18,  то наименьшая из разностей между номерами соседних (по кругу) секторов равна  12 – 9 = 3.

Может ли указанная величина при нумерации в другом порядке быть больше 3?

Каково наибольшее возможное значение этой величины?