Олимпиадные задачи из источника «2006 год» - сложность 4 с решениями
Все имеющиеся на складе конфеты разных сортов разложены по <i>n</i> коробкам, на которые установлены цены в 1, 2, ..., <i>n</i> у. е. соответственно. Требуется купить такие <i>k</i> из этих коробок наименьшей суммарной стоимости, которые содержат заведомо не менее <i><sup>k</sup>/<sub>n</sub></i> массы всех конфет. Известно, что масса конфет в каждой коробке не превосходит массы конфет в любой более дорогой коробке.
а) Какие коробки следует купить при <i>n</i> = 10 и <i>k</i> = 3 ?
б) Тот же вопрос для произвольных натуральных <i>n ≥ k</i>.
Дан треугольник <i>ABC</i> и точки <i>P</i> и <i>Q</i>, лежащие на его описанной окружности. Точку <i>P</i> отразили относительно прямой <i>BC</i> и получили точку <i>P_a</i>. Точку пересечения прямых <i>QP_a</i> и <i>BC</i> обозначим <i>A'</i>. Точки <i>B'</i> и <i>C'</i> строятся аналогично. Докажите, что точки <i>A'</i>, <i>B'</i> и <i>C'</i> лежат на одной прямой.
В коробке лежат карточки, занумерованные натуральными числами от <i>1</i> до <i>2006</i>. На карточке с номером <i>2006</i> лежит карточка с номером <i>2005</i> и т. д. до <i>1</i>. За ход разрешается взять одну верхнюю карточку (из любой коробки) и переложить ее либо на дно пустой коробки, либо на карточку с номером на единицу больше. Сколько пустых коробок нужно для того, чтобы переложить все карточки в другую коробку?