Олимпиадные задачи из источника «2006 год» - сложность 2 с решениями
Найти все несократимые дроби <sup><i>а</i></sup>/<sub><i>b</i></sub>, представимые в виде <i>b,а</i> (запятая разделяет десятичные записи натуральных чисел <i>b</i> и <i>а</i>).
Какие значения может принимать разность возрастающей арифметической прогрессии <i>a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>,..., a<sub>5</sub></i>, все члены которой принадлежат отрезку [0; 3π/2], если числа cos <i>a<sub>1</sub></i>, cos <i>a<sub>2</sub></i>, cos <i>a<sub>3</sub></i>, а также числа sin <i>a<sub>3</sub></i>, sin <i>a<sub>4</sub></i> и sin <i>a<sub>5</sub></i> в некотором порядке тоже образуют арифметические прогрессии.
Один из двух приведённых квадратных трёхчленов имеет два корня, меньших 1000, другой – два корня, больших 1000. Может ли сумма этих трёхчленов иметь один корень меньший 1000, а другой – больший 1000?
В выражении (<i>x</i><sup>4</sup> + <i>x</i>³ – 3<i>x</i>² + <i>x</i> + 2)<sup>2006</sup> раскрыли скобки и привели подобные слагаемые.
Докажите, что при некоторой степени переменной <i>x</i> получился отрицательный коэффициент.
На олимпиаде <i>m>1</i> школьников решали <i>n>1</i> задач. Все школьники решили разное количество задач. Все задачи решены разным количеством школьников. Докажите, что один из школьников решил ровно одну задачу.
Васе на 23 февраля подарили 777 конфет. Вася хочет съесть все конфеты за <i>n</i> дней, причем так, чтобы каждый из этих дней (кроме первого, но включая последний) съедать на одну конфету больше, чем в предыдущий. Для какого наибольшего числа <i>n</i> это возможно?
Девять одинаковых по виду монет расположены по кругу. Пять из них настоящие, а четыре — фальшивые. Никакие две фальшивые монеты не лежат рядом. Настоящие монеты весят одинаково, и фальшивые — одинаково (фальшивая монета тяжелее настоящей). Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить все фальшивые монеты?
Треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> – равнобедренные прямоугольные (стороны <i>AB</i> и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> – гипотенузы). Известно, что <i>C</i><sub>1</sub> лежит на <i>BC, B</i><sub>1</sub> лежит на <i>AB</i>, а <i>A</i><sub>1</sub> лежит на <i>AC</i>. Докажите, что <i>AA</i><sub>1</sub> = 2<i>CC</i><sub>1</sub>.
В клетках таблицы 3×3 расставлены числа так, что сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке равна нулю. Какое наименьшее количество чисел, отличных от нуля, может быть в этой таблице, если известно, что оно нечётно?