Олимпиадные задачи из источника «2006 год» для 7 класса

Учитель заполнил клетчатую таблицу 5×5 различными целыми числами и выдал по одной её копии Боре и Мише. Боря выбирает наибольшее число в таблице, затем вычёркивает строку и столбец, содержащие это число, затем выбирает наибольшее число из оставшихся, вычёркивает строку и столбец, содержащие это число, и т.д. Миша производит аналогичные операции, каждый раз выбирая наименьшие числа. Может ли учитель так заполнить таблицу, что сумма пяти чисел, выбранных Мишей, окажется больше суммы пяти чисел, выбранных Борей?

Назовем <i>тропинкой</i> замкнутую траекторию на плоскости, состоящую из дуг окружностей и проходящую через каждую свою точку ровно один раз. Приведите пример тропинки и такой точки <i>M</i> на ней, что любая прямая, проходящая через <i>M, делит тропинку пополам</i>, то есть сумма длин всех кусков тропинки в одной полуплоскости равна сумме длин всех кусков тропинки в другой полуплоскости.

На олимпиаде <i>m>1</i> школьников решали <i>n>1</i> задач. Все школьники решили разное количество задач. Все задачи решены разным количеством школьников. Докажите, что один из школьников решил ровно одну задачу.

Каждую неделю Ваня получает ровно одну оценку ("3", "4" или "5") по каждому из семи предметов. Он считает неделю удачной, если количество предметов, по которым оценка улучшилась, превышает хотя бы на два количество предметов, по которым оценка ухудшилась. Оказалось, что <i>n</i> недель подряд были удачными, и в последнюю из них оценка по каждому предмету в точности совпала с оценкой первой недели. Чему могло равняться число <i>n</i>?

Серёжа придумал фигуру, которую легко разрезать на две части и сложить из них квадрат (см. рис.). <img src="/storage/problem-media/105201/problem_105201_img_2.png"> Покажите как по-другому разрезать эту фигуру на две части, из которых тоже можно сложить квадрат.

Девять одинаковых по виду монет расположены по кругу. Пять из них настоящие, а четыре — фальшивые. Никакие две фальшивые монеты не лежат рядом. Настоящие монеты весят одинаково, и фальшивые — одинаково (фальшивая монета тяжелее настоящей). Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить все фальшивые монеты?

Треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ – равнобедренные прямоугольные (стороны <i>AB</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁ – гипотенузы). Известно, что <i>C</i>₁ лежит на <i>BC, B</i>₁ лежит на <i>AB</i>, а <i>A</i>₁ лежит на <i>AC</i>. Докажите, что  <i>AA</i>₁ = 2<i>CC</i>₁.

В клетках таблицы 3×3 расставлены числа так, что сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке равна нулю. Какое наименьшее количество чисел, отличных от нуля, может быть в этой таблице, если известно, что оно нечётно?

В олимпиаде участвовали 2006 школьников. Оказалось, что школьник Вася из всех шести задач решил только одну, а число участников, решивших

  хотя бы 1 задачу, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 2;

  хотя бы 2 задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 3;

  хотя бы 3 задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 4;

  хотя бы 4 задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 5;

  хотя бы 5 задач, в 4 раза больше, чем решивших все 6.

Сколько школьников не решили ни одной задачи?