Олимпиадные задачи из источника «11 класс» для 11 класса - сложность 1-4 с решениями

Все имеющиеся на складе конфеты разных сортов разложены по <i>n</i> коробкам, на которые установлены цены в 1, 2, ..., <i>n</i>  у. е. соответственно. Требуется купить такие <i>k</i> из этих коробок наименьшей суммарной стоимости, которые содержат заведомо не менее <i>^k/_n</i> массы всех конфет. Известно, что масса конфет в каждой коробке не превосходит массы конфет в любой более дорогой коробке.

  а) Какие коробки следует купить при  <i>n</i> = 10  и  <i>k</i> = 3 ?

  б) Тот же вопрос для произвольных натуральных  <i>n ≥ k</i>.

Можно ли намотать нерастяжимую ленту на бесконечный конус так, чгобы сделать вокруг его оси бесконечно много оборотов? Ленту нельзя наматывать на вершину конуса, а также разрезать и перекручивать. При необходимости можно считать, что она бесконечна, а угол между осью и образующей конуса достаточно мал.

Какие значения может принимать разность возрастающей арифметической прогрессии <i>a₁, a₂,..., a₅</i>, все члены которой принадлежат отрезку [0; 3π/2], если числа cos <i>a₁</i>, cos <i>a₂</i>, cos <i>a₃</i>, а также числа sin <i>a₃</i>, sin <i>a₄</i> и sin <i>a₅</i> в некотором порядке тоже образуют арифметические прогрессии.