Олимпиадные задачи из источника «10 класс» - сложность 1-3 с решениями

Две окружности пересекаются в точках<i> P </i>и<i> Q </i>. Третья окружность с центром в точке<i> P </i>пересекает первую в точках<i> A </i>и<i> B </i>, а вторую – в точках<i> C </i>и<i> D </i>(см.рисунок). Докажите что углы<i> AQD </i>и<i> BQC </i>равны.

Найдите все такие пары натуральных чисел <i>x, y</i>, что числа  <i>x</i>³ + <i>y</i>  и  <i>y</i>³ + <i>x</i>  делятся на  <i>x</i>² + <i>y</i>².

2<i>n</i> радиусов разделили круг на 2<i>n</i> равных секторов: <i>n</i> синих и <i>n</i> красных, чередующихся в произвольном порядке. В синие сектора, начиная с некоторого, записывают против хода часовой стрелки числа от 1 до <i>n</i>. В красные сектора, начиная с некоторого, записывают те же числа, но по ходу часовой стрелки. Докажите, что найдётся полукруг, в котором записаны все числа от 1 до <i>n</i>.

Про действительные числа <i>a, b, c</i> известно, что  (<i>a + b + c</i>)<i>c</i> < 0.  Докажите, что  <i>b</i>² – 4<i>ac</i> > 0.