Олимпиадные задачи из источника «8 класс» - сложность 1-5 с решениями

Окружность с центром <i>D</i> проходит через вершины <i>A, B</i> и центр <i>O</i> вневписанной окружности треугольника <i>ABC </i>, касающейся его стороны <i>BC</i> и продолжений сторон <i>AB</i> и <i>AC</i>. Докажите, что точки <i>A, B, C</i> и <i>D</i> лежат на одной окружности.

Существует ли конечное слово из букв русского алфавита, в котором нет двух соседних одинаковых подслов, но таковые появляются при приписывании (как справа, так и слева) любой буквы русского алфавита.Комментарий.<i>Словом</i>мы называем любую последовательность букв русского алфавита, не обязательно осмысленную,<i>подсловом</i>называется любой фрагмент слова. Например, АБВШГАБ - слово, а АБВ, Ш, ШГАБ - его подслова.

Придворный астролог царя Гороха называет время суток хорошим, если на часах с центральной секундной стрелкой при мгновенном обходе циферблата по ходу часов минутная стрелка встречается после часовой и перед секундной. Какого времени в сутках больше: хорошего или плохого? (Стрелки часов движутся с постоянной скоростью.)

На прямой стоят две фишки, слева – красная, справа – синяя. Разрешается производить любую из двух операций: вставку двух фишек одного цвета подряд в любом месте прямой и удаление любых двух соседних одноцветных фишек. Можно ли за конечное число операций оставить на прямой ровно две фишки: красную справа, а синюю – слева?

Известно, что число <i>n</i> является суммой квадратов трёх натуральных чисел. Показать, что число <i>n</i>² тоже является суммой квадратов трёх натуральных чисел.

Обозначим через <i>S</i>(<i>x</i>) сумму цифр натурального числа <i>x</i>. Решить уравнения:

  а)  <i>x + S</i>(<i>x</i>) + <i>S</i>(<i>S</i>(<i>x</i>)) = 1993;

  б)  <i>x + S</i>(<i>x</i>) + <i>S</i>(<i>S</i>(<i>x</i>)) + <i>S</i>(<i>S</i>(<i>S</i>(<i>x</i>))) = 1993.