Олимпиадные задачи из источника «1982 год» для 10-11 класса - сложность 2 с решениями

а)<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>— длины сторон треугольника. Доказать, что<i>a</i>⁴+<i>b</i>⁴+<i>c</i>⁴− 2(<i>a</i>²<i>b</i>²+<i>a</i>²<i>c</i>²+<i>b</i>²<i>c</i>²) +<i>a</i>²<i>bc</i>+<i>b</i>²<i>ac</i>+<i>c</i>²<i>ab</i>≥ 0. б) Доказать, что<i>a</i>⁴+<i>b</i><...

Найти на плоскости точку, сумма расстояний от которой до четырёх заданных точек минимальна.

Найти все натуральные числа <i>n</i>, для которых число  <i>n</i>·2^<i>n</i> + 1  кратно 3.

Числа 1, 2, 3, ..., 1982 возводятся в квадрат и записываются подряд в некотором порядке.

Может ли полученное многозначное число быть полным квадратом?