Олимпиадные задачи из источника «9 класс»

На химической конференции присутствовало<i>k</i>учёных химиков и алхимиков, причём химиков было больше, чем алхимиков. Известно, что на любой вопрос химики всегда отвечают правду, а алхимики иногда говорят правду, а иногда лгут. Оказавшийся на конференции математик про каждого учёного хочет установить, химик тот или алхимик. Для этого он любому учёному может задать вопрос: "Кем является такой-то: химиком или алхимиком?" (В частности, может спросить, кем является сам этот учёный.) Доказать, что математик может установить это за 2<i>k</i>− 3 вопросов.

а) Существует ли последовательность натуральных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., обладающая следующим свойством: ни один член последовательности не равен сумме нескольких других и  <i>a_n ≤ n</i>¹⁰  при любом <i>n</i>? б) Тот же вопрос, если  <i>a_n ≤ n</i><img width="27" height="33" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79370/problem_79370_img_2.gif">  при любом <i>n</i>.

Имеется несколько камней, масса каждого из которых не превосходит 2 кг, а общая масса равна 100 кг. Из них выбирается несколько камней, суммарная масса которых отличается от 10 кг на наименьшее возможное для данного набора число <i>d</i>. Какое максимальное значение может принимать число <i>d</i> для всевозможных наборов камней?

<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны.<i>O</i>- центр описанной окружности четырехугольника<i>ABCD</i>. Докажите, что расстояние от точки <i>O</i>до стороны <i>AB</i>равно половине длины стороны <i>CD</i>.