Олимпиадные задачи из источника «1977 год» для 10 класса - сложность 2-3 с решениями
Дан многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами, причём для каждого натурального <i>x</i> выполняется неравенство <i>P</i>(<i>x</i>) > <i>x</i>. Определим последовательность {<i>b<sub>n</sub></i>} следующим образом: <i>b</i><sub>1</sub> = 1, <i>b</i><sub><i>k</i>+1</sub> = <i>P</i>(<i>b<sub>k</sub></i>) для <i>k</i> ≥ 1. Известно, что для любого натурального <i>d</i> найдется член последовательности {<i>b<sub>n</sub></i>}, делящийся на <i>d</i>. Докажите, что <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>...
В пространстве расположен выпуклый многогранник, все вершины которого находятся в целых точках. Других целых точек внутри, на гранях и на рёбрах нет. (Целой называется точка, все три координаты которой – целые числа.) Доказать, что число вершин многогранника не превосходит восьми.
Существуют ли а) 6, б)15, в) 1000 таких различных натуральных чисел, что для любых двух <i>a</i> и <i>b</i> из них сумма <i>a + b</i> делится на разность <i>a − b</i>?
В пространстве расположено<i>n</i>отрезков, никакие три из которых не параллельны одной плоскости. Для любых двух отрезков прямая, соединяющая их середины, перпендикулярна обоим отрезкам. При каком наибольшем<i>n</i>это возможно?
Найти наименьшее<i>n</i>такое, что любой выпуклый 100-угольник можно получить в виде пересечения<i>n</i>треугольников. Докажите, что для меньших<i>n</i>это можно сделать не с любым выпуклым 100-угольником.
Последовательность натуральных чисел {<i>x<sub>n</sub></i>} строится по следующему правилу: <i>x</i><sub>1</sub> = 2, <i>x</i><sub><i>n</i>+1</sub> = [1,5<i>x<sub>n</sub></i>]. Доказать, что в последовательности {<i>x<sub>n</sub></i>} бесконечно много
а) нечётных чисел;
б) чётных чисел.