Докажем, что для любого натурального  n ≥ 2  существуют n натуральных чисел, сумма любых двух из которых делится на их разность.

  Для  n = 2  можно взять числа 1 и 2. Пусть числа a₁, ..., a_n удовлетворяют требуемому условию. Покажем, что тогда числа  A, A + a₁, ..., A + a_n,  где

A = a₁...a_n,  тоже удовлетворяют требуемому условию. Ясно, что  A + a_k + A  делится на  A + a_k − A = a_k,  поскольку A делится на a_k. Проверим, что A + a_i + A + a_j  делится на  A + a_i − (A + a_j) = a_i − a_j.  По условию  a_i + a_j  делится на  a_i − a_j.  Кроме того,  2a_i = (a_i + a_j) + (a_i − a_j)  делится на  a_i − a_j,  а значит, 2A делится на  a_i − a_j.

Существуют.