Олимпиадные задачи из источника «7 класс, 1 тур» - сложность 2 с решениями

В наборе имеется 100 гирь, каждые две из которых отличаются по массе не более чем на 20 г. Доказать, что эти гири можно положить на две чашки весов, по 50 штук на каждую, так, чтобы одна чашка весов была легче другой не более чем на 20 г.

Внутри правильного треугольника<i>ABC</i>лежит точка<i>O</i>. Известно, что$\angle$<i>AOB</i>= 113^<tt>o</tt>,$\angle$<i>BOC</i>= 123^<tt>o</tt>. Найти углы треугольника, стороны которого равны отрезкам<i>OA</i>,<i>OB</i>,<i>OC</i>.

На 99 карточках пишутся числа 1, 2, 3, ..., 99. Затем карточки перемешиваются, раскладываются чистыми сторонами вверх и на чистых сторонах снова пишутся числа 1, 2, 3, 4, ..., 99. Для каждой карточки числа, стоящие на ней, складываются и 99 полученных сумм перемножаются. Доказать, что в результате получится чётное число.