Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 1 тур» - сложность 2-3 с решениями
10 класс, 1 тур
НазадСуществует ли такое число <i>h</i>, что ни для какого натурального числа <i>n</i> число [<i>h</i>·1969<sup><i>n</i></sup>] не делится на [<i>h</i>·1969<sup><i>n</i>–1</sup>]?
Колода перфокарт четырёх цветов разложена в один ряд. Если две перфокарты одного цвета лежат рядом или через одну, то можно выбрасывать ту из них, которая левее. Кроме того, можно подкладывать справа любое количество перфокарт из других колод. Доказать, что можно подкладывать и выбрасывать перфокарты таким образом, чтобы в конце концов их осталось только четыре.
Дана бесконечная последовательность чисел <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>, ... Она периодична с периодом 100, то есть <i>a</i><sub>1</sub> = <i>a</i><sub>101</sub>, <i>a</i><sub>2</sub> = <i>a</i><sub>102</sub>, ... Известно, что <i>a</i><sub>1</sub> ≥ 0, <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> ≤ 0, <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> + <i>a</i><sub>3</sub> ≥ 0 и вообще, сумма <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> + ....