Олимпиадные задачи из источника «7 класс, 2 тур» для 3-9 класса - сложность 2-4 с решениями

В четырёх заданных точках на плоскости расположены прожекторы, каждый из которых может освещать прямой угол. Стороны этих углов могут быть направлены на север, юг, запад или восток. Доказать, что эти прожекторы можно направить так, что они осветят всю плоскость.

Число <i>y</i> получается из натурального числа <i>x</i> некоторой перестановкой его цифр. Докажите, что каково бы ни было <i>x</i>,  <img align="middle" src="/storage/problem-media/78617/problem_78617_img_2.gif">

Доказать, что существует число<i>q</i>такое, что в десятичной записи числа<i>q</i>^.2¹⁰⁰⁰нет ни одного нуля.

Над квадратным катком нужно повесить четыре лампы так, чтобы они его полностью освещали. На какой наименьшей высоте нужно повесить лампы, если каждая лампа освещает круг радиуса, равного высоте, на которой она висит?

В треугольнике<i>ABC</i>проведены высоты<i>AE</i>,<i>BM</i>и<i>CP</i>. Известно, что<i>EM</i>параллельна<i>AB</i>и<i>EP</i>параллельна<i>AC</i>. Докажите, что<i>MP</i>параллельна<i>BC</i>.