Олимпиадные задачи из источника «1964 год» для 10 класса - сложность 2 с решениями
Из точки<i>O</i>на плоскости проведено несколько векторов, сумма длин которых равна 4. Доказать, что можно выбрать несколько векторов (или, быть может, один вектор), длина суммы которых больше 1.
Доказать, что любое чётное число 2<i>n</i>$\ge$0 может быть единственным образом представлено в виде2<i>n</i>= (<i>x</i>+<i>y</i>)<sup>2</sup>+ 3<i>x</i>+<i>y</i>, где<i>x</i>и<i>y</i>— целые неотрицательные числа.
Известно, что при любом целом <i>K</i> ≠ 27 число <i>a – K</i><sup>1964</sup> делится без остатка на 27 – <i>K</i>. Найти <i>a</i>.
Число<i>N</i>является точным квадратом и не заканчивается нулём. После зачёркивания у этого числа двух последних цифр снова получится точный квадрат. Найти наибольшее число<i>N</i>с таким свойством.
В четырёхугольнике <i>ABCD</i> опущены перпендикуляры AM и CP на диагональ <i>BD</i>, а также <i>BN</i> и <i>DQ</i> на диагональ <i>AC</i>.
Доказать, что четырёхугольники <i>ABCD</i> и <i>MNPQ</i> подобны.
См.<a href="http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=78518">задачу 4 для 8 класса</a>. Кроме того, доказать, что если длины отрезков<i>a</i><sub>1</sub>,...,<i>a</i><sub>6</sub>удовлетворяют соотношениям:<i>a</i><sub>1</sub>-<i>a</i><sub>4</sub>=<i>a</i><sub>5</sub>-<i>a</i><sub>2</sub>=<i>a</i><sub>3</sub>-<i>a</i><sub>6</sub>, то из этих отрезков можно построить равноугольный шестиугольник.
Известно, что при любом целом <i>K</i> ≠ 27 число <i>a – K</i>³ делится на 27 – <i>K</i>. Найти <i>a</i>.
Доказать, что произведение двух последовательных натуральных чисел не является степенью никакого целого числа.
Решить в положительных числах систему:<div align="CENTER"> $\displaystyle \left{\vphantom{ \begin{array}{rcl} x^y&=&z,\ y^z&=&x,\ z^x&=&y. \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{rcl} x^y&=&z,\ y^z&=&x,\ z^x&=&y. \end{array}$ </div>