Олимпиадные задачи из источника «9 класс, 1 тур» - сложность 1-5 с решениями

В четырёхугольнике <i>ABCD</i> опущены перпендикуляры AM и CP на диагональ <i>BD</i>, а также <i>BN</i> и <i>DQ</i> на диагональ <i>AC</i>.

Доказать, что четырёхугольники <i>ABCD</i> и <i>MNPQ</i> подобны.

См.<a href="http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=78518">задачу 4 для 8 класса</a>. Кроме того, доказать, что если длины отрезков<i>a</i>₁,...,<i>a</i>₆удовлетворяют соотношениям:<i>a</i>₁-<i>a</i>₄=<i>a</i>₅-<i>a</i>₂=<i>a</i>₃-<i>a</i>₆, то из этих отрезков можно построить равноугольный шестиугольник.

Известно, что при любом целом  <i>K</i> ≠ 27  число  <i>a – K</i>³  делится на  27 – <i>K</i>. Найти <i>a</i>.

Доказать, что произведение двух последовательных натуральных чисел не является степенью никакого целого числа.

Решить в положительных числах систему:<div align="CENTER"> $\displaystyle \left{\vphantom{ \begin{array}{rcl} x^y&=&z,\ y^z&=&x,\ z^x&=&y. \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{rcl} x^y&=&z,\ y^z&=&x,\ z^x&=&y. \end{array}$ </div>