Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 2 тур» для 9 класса - сложность 2-4 с решениями
10 класс, 2 тур
НазадПоследовательность чисел<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>,...,<i>a</i><sub>n</sub>... образуется следующим образом:<div align="CENTER"> <i>a</i><sub>1</sub> = <i>a</i><sub>2</sub> = 1; <i>a</i><sub>n</sub> = $\displaystyle {\frac{a_{n-1}^2+2}{a_{n-2}}}$ (<i>n</i>$\displaystyle \ge$3). </div>Доказать, что все числа в последовательности — целые.
<i>A'</i>,<i>B'</i>,<i>C'</i>,<i>D'</i>,<i>E'</i>— середины сторон выпуклого пятиугольника<i>ABCDE</i>. Доказать, что площади пятиугольников<i>ABCDE</i>и<i>A'B'C'D'E'</i>связаны соотношением:<div align="CENTER"> <i>S</i><sub>A'B'C'D'E'</sub>$\displaystyle \ge$$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$<i>S</i><sub>ABCDE</sub>. </div>
Из центра правильного 25-угольника проведены векторы во все его вершины.
Как надо выбрать несколько векторов из этих 25, чтобы их сумма имела наибольшую длину?
На листе бумаги нанесена сетка из<i>n</i>горизонтальных и<i>n</i>вертикальных прямых. Сколько различных замкнутых 2<i>n</i>-звенных ломаных можно провести по линиям сетки так, чтобы каждая ломаная проходила по всем горизонтальным и всем вертикальным прямым?
Доказать, что при нечётном <i>n</i> > 1 уравнение <i>x<sup>n</sup> + y<sup>n</sup> = z<sup>n</sup></i> не может иметь решений в целых числах, для которых <i>x + y</i> – простое число.