Олимпиадные задачи из источника «1962 год» для 9 класса - сложность 1-2 с решениями
В окружность вписан неправильный <i>n</i>-угольник, который при повороте окружности около центра на некоторый угол α ≠ 2π совмещается сам с собой. Доказать, что <i>n</i> – число составное.
Проведём в выпуклом многоугольнике некоторые диагонали так, что никакие две из них не пересекаются (из одной вершины могут выходить несколько диагоналей). Доказать, что найдутся по крайней мере две вершины многоугольника, из которых не проведено ни одной диагонали.
Дано число 100...01; число нулей в нём равно 1961. Докажите, что это число – составное.
"Уголком" называется фигура, составленная из трёх квадратов со стороной 1 в виде буквы "Г".
Доказать, что прямоугольник размерами 1961×1963 нельзя разбить на уголки, а прямоугольник размерами 1963×1965 – можно.
У края биллиарда, имеющего форму правильного 2<i>n</i>-угольника, стоит шар. Как надо пустить шар от борта, чтобы он, отразившись последовательно от всех бортов, вернулся в ту же точку? (При отражении углы падения и отражения равны.) Доказать, что при этом длина пути шара не зависит от выбора начальной точки.
Доказать, что любое натуральное число можно представить в виде суммы нескольких различных членов последовательности 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...,<i>a</i><sub>n</sub>=<i>a</i><sub>n - 1</sub>+<i>a</i><sub>n - 2</sub>,....
Даны два пересекающихся луча<i>AС</i>и<i>BD</i>. На этих лучах выбираются точки<i>M</i>и<i>N</i>(соответственно) так, что<i>AM</i>=<i>BN</i>. Найти положение точек<i>M</i>и<i>N</i>, при котором длина отрезка<i>MN</i>минимальна.
Доказать, что для любого целого<i>d</i>найдутся такие целые<i>m</i>,<i>n</i>, что<div align="CENTER"> <i>d</i> = $\displaystyle {\frac{n-2m+1}{m^2-n}}$. </div>
Даны<i>n</i>карточек; на обеих сторонах каждой карточки написано по одному из чисел1, 2,...,<i>n</i>, причём так, что каждое число встречается на всех<i>n</i>карточках ровно два раза. Доказать, что карточки можно разложить на столе так, что сверху окажутся все числа:1, 2,...,<i>n</i>.
Сумму цифр числа <i>a</i> обозначим через <i>S</i>(<i>a</i>). Доказать, что если <i>S</i>(<i>a</i>) = <i>S</i>(2<i>a</i>), то число <i>a</i> делится на 9.
Правильный треугольник, одна сторона которого отмечена, отражается симметрично относительно одной из своих сторон. Полученный треугольник в свою очередь отражается и т.д., пока на некотором шаге треугольник не придёт в первоначальное положение. Доказать, что при этом отмеченная сторона также займёт исходное положение.
Дана прямая<i>l</i>, перпендикулярная отрезку<i>AB</i>и пересекающая его. Для любой точки<i>M</i>прямой<i>l</i>строится такая точка<i>N</i>, что$\angle$<i>NAB</i>= 2$\angle$<i>MAB</i>;$\angle$<i>NBA</i>= 2$\angle$<i>MBA</i>. Доказать, что абсолютная величина разности<i>AN</i>-<i>BN</i>не зависит от выбора точки<i>M</i>на прямой<i>l</i>.