Олимпиадные задачи из источника «1962 год» для 4-8 класса - сложность 3 с решениями
В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым из остальных одну партию.
Доказать, что участников можно так занумеровать, что окажется, что ни один участник не проиграл непосредственно за ним следующему.
Из чисел<i>x</i><sub>1</sub>,<i>x</i><sub>2</sub>,<i>x</i><sub>3</sub>,<i>x</i><sub>4</sub>,<i>x</i><sub>5</sub>можно образовать десять попарных сумм; обозначим их через<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>, ...,<i>a</i><sub>10</sub>. Доказать, что зная числа<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>, ...,<i>a</i><sub>10</sub>(но не зная, разумеется, суммой каких именно двух чисел является каждое из них), можно восстановить числа<i>x</i><sub>1</sub>,<i>x</i><sub>2</sub>,<i>x...
На плоскости даны 25 точек; известно, что из любых трёх точек можно выбрать две, расстояние между которыми меньше 1. Доказать, что среди данных точек найдутся 13, лежащие в круге радиуса 1.
<i>ABC</i> – равнобедренный треугольник; <i>AB = BC, BH</i> – высота, <i>M</i> – середина стороны <i>AB, K</i> – точка пересечения <i>BH</i> с описанной окружностью треугольника <i>BMC</i>. Доказать, что <i>BK</i> = <sup>3</sup>/<sub>2</sub> <i>R</i>, где <i>R</i> – радиус описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
Даны два пересекающихся отрезка<i>AС</i>и<i>BD</i>. На этих лучах выбираются точки<i>M</i>и<i>N</i>(соответственно) так, что<i>AM</i>=<i>BN</i>. Найти положение точек<i>M</i>и<i>N</i>, при котором длина отрезка<i>MN</i>минимальна (сравните с<a href="http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=78284">задачей 1 для 10 класса</a>).
На сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CA</i>правильного треугольника<i>ABC</i>найти такие точки<i>X</i>,<i>Y</i>,<i>Z</i>(соответственно), чтобы площадь треугольника, образованного прямыми<i>CX</i>,<i>BZ</i>,<i>AY</i>, была вчетверо меньше площади треугольника<i>ABC</i>и чтобы было выполнено условие: $$\frac{AX}{XB}=\frac{BY}{YC}=\frac{CZ}{ZA}.$$