Олимпиадные задачи из источника «9 класс, 2 тур» - сложность 3 с решениями

Стороны выпуклого многоугольника, периметр которого равен 12, отодвигаются на расстояние<i>d</i>= 1 во внешнюю сторону. Доказать, что площадь многоугольника увеличится по крайней мере на 15.

Как надо расположить числа  1, 2, ..., 2<i>n</i>  в последовательности  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>_2<i>n</i>,  чтобы сумма  |<i>a</i>₁ – <i>a</i>₂| + |<i>a</i>₂ – <i>a</i>₃| + ... + |<i>a</i>_{2<i>n</i>–1} – <i>a</i>_2<i>n</i>| + |<i>a</i>_2<i>n</i> – <i>a</i>₁|  была наибольшей?

Школьник в течение учебного года должен решать ровно по 25 задач за каждые идущие подряд 7 дней. Время, необходимое на решение одной задачи (любой), не меняется в течение дня, но меняется в течение учебного года по известному школьнику закону и всегда меньше 45 минут. Школьник хочет затратить на решение задач в общей сложности наименьшее время. Доказать, что для этого он может выбрать некоторый день недели и в этот день (каждую неделю) решать по 25 задач.

Из чисел<i>x</i>₁,<i>x</i>₂,<i>x</i>₃,<i>x</i>₄,<i>x</i>₅можно образовать десять попарных сумм; обозначим их через<i>a</i>₁,<i>a</i>₂, ...,<i>a</i>₁₀. Доказать, что зная числа<i>a</i>₁,<i>a</i>₂, ...,<i>a</i>₁₀(но не зная, разумеется, суммой каких именно двух чисел является каждое из них), можно восстановить числа<i>x</i>₁,<i>x</i>₂,<i>x...