Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 2 тур» для 2-11 класса - сложность 2-3 с решениями
10 класс, 2 тур
НазадВ шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым из остальных одну партию.
Доказать, что участников можно так занумеровать, что окажется, что ни один участник не проиграл непосредственно за ним следующему.
Как надо расположить в пространстве прямоугольный параллелепипед, чтобы площадь его проекции на горизонтальную плоскость была наибольшей?
На данной прямой<i>l</i>, проходящей через центр<i>O</i>данной окружности, фиксирована точка<i>C</i>(расположенная внутри окружности — прим. ред.). Точки<i>A</i>и<i>A'</i>расположены на окружности по одну сторону от<i>l</i>так, что углы, образованные прямыми<i>AC</i>и<i>A'C</i>с прямой<i>l</i>, равны. Обозначим через<i>B</i>точку пересечения прямых<i>AA'</i>и<i>l</i>. Доказать, что положение точки<i>B</i>не зависит от точки<i>A</i>.
Стороны выпуклого многоугольника, периметр которого равен 12, отодвигаются на расстояние<i>d</i>= 1 во внешнюю сторону. Доказать, что площадь многоугольника увеличится по крайней мере на 15.
Как надо расположить числа 1, 2, ..., 2<i>n</i> в последовательности <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>2<i>n</i></sub>, чтобы сумма |<i>a</i><sub>1</sub> – <i>a</i><sub>2</sub>| + |<i>a</i><sub>2</sub> – <i>a</i><sub>3</sub>| + ... + |<i>a</i><sub>2<i>n</i>–1</sub> – <i>a</i><sub>2<i>n</i></sub>| + |<i>a</i><sub>2<i>n</i></sub> – <i>a</i><sub>1</sub>| была наибольшей?