Олимпиадные задачи из источника «1961 год» для 11 класса - сложность 2 с решениями
<i>n</i> точек соединены отрезками так, что каждая точка с чем-нибудь соединена и нет таких двух точек, которые соединялись бы двумя разными путями.
Доказать, что общее число отрезков равно <i>n</i> – 1.
Точки<i>A</i>и<i>B</i>движутся равномерно и с равными угловыми скоростями по окружностям<i>O</i><sub>1</sub>и<i>O</i><sub>2</sub>соответственно (по часовой стрелке). Доказать, что вершина<i>C</i>правильного треугольника<i>ABC</i>также движется равномерно по некоторой окружности.
Известно, что<i>Z</i><sub>1</sub>+ ... +<i>Z</i><sub>n</sub>= 0, где<i>Z</i><sub>k</sub>— комплексные числа. Доказать, что среди этих чисел найдутся два таких, что разность их аргументов больше или равна120<sup><tt>o</tt></sup>.
Дана последовательность чисел <i>F</i><sub>1</sub>, <i>F</i><sub>2</sub>, ...; <i>F</i><sub>1</sub> = <i>F</i><sub>2</sub> = 1 и <i>F</i><sub><i>n</i>+2</sub> = <i>F<sub>n</sub> + F</i><sub><i>n</i>+1</sub>. Доказать, что <i>F</i><sub>5<i>k</i></sub> делится на 5 при <i>k</i> = 1, 2, ... .
Доказать, что можно так расположить числа от 1 до <i>n</i>² в таблицу <i>n</i>×<i>n</i>, чтобы суммы чисел каждого столбца были равны.