Олимпиадные задачи из источника «9 класс, 1 тур» для 10 класса - сложность 1-4 с решениями

На плоскости дано<i>N</i>точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Если<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>— любые три из них, то внутри треугольника<i>ABC</i>нет ни одной точки из данных. Доказать, что эти точки можно занумеровать так, что многоугольник<i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>_nбудет выпуклым.

В автобусе без кондуктора едут 4<i>k</i>пассажиров. У каждого из них есть только монеты в 10, 15, 20 копеек. Доказать, что если общее число монет меньше 5<i>k</i>, то пассажиры не смогут правильно расплатиться за проезд. Для числа монет 5<i>k</i>построить пример, когда возможен правильный расчет.<b>Примечание.</b>Проезд в автобусе стоит 5 копеек.

Доказать, что можно так расположить числа от 1 до <i>n</i>² в таблицу <i>n</i>×<i>n</i>, чтобы суммы чисел каждого столбца были равны.

Играют двое; один из них загадывает набор из целых чисел (<i>x</i>₁,<i>x</i>₂,...,<i>x</i>_n) -- однозначных, как положительных, так и отрицательных. Второму разрешается спрашивать, чему равна сумма<i>a</i>₁<i>x</i>₁+ ... +<i>a</i>_n<i>x</i>_n, где(<i>a</i>₁...<i>a</i>_n) -- любой набор. Каково наименьшее число вопросов, за которое отгадывающий узнает задуманный набор?

Дан треугольник<i>ABC</i>и точка<i>O</i>.<i>M</i>₁,<i>M</i>₂,<i>M</i>₃— центры тяжести треугольников<i>OAB</i>,<i>OBC</i>,<i>OCA</i>соответственно. Доказать, что площадь треугольника<i>M</i>₁<i>M</i>₂<i>M</i>₃равна 1/9 площади<i>ABC</i>.