Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 2 тур» для 3-11 класса - сложность 2-5 с решениями

Дана четвёрка ненулевых чисел<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>. Из неё получается новая<i>ab</i>,<i>bc</i>,<i>cd</i>,<i>da</i>по следующему правилу: каждое число умножается на следующее, четвёртое — на первое. Из новой четвёрки по этому же правилу получается третья и т.д. Доказать, что в полученной последовательности четвёрок никогда не встретится вновь четверка<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>, кроме случая, когда<i>a</i>=<i>b</i>=<i>c</i>=<i>d</i>= 1.

С центрами в вершинах прямоугольника построены четыре окружности с радиусами<i>r</i>₁,<i>r</i>₂,<i>r</i>₃,<i>r</i>₄, причём<i>r</i>₁+<i>r</i>₃=<i>r</i>₂+<i>r</i>₄<<i>d</i>;<i>d</i>— диагональ прямоугольника. Проводятся две пары внешних касательных к окружностям 1, 3 и 2, 4. Доказать, что в четырёхугольник, образованный этими четырьмя прямыми, можно вписать окружность.

Дана фигура, состоящая из 16 отрезков (см. рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/78261/problem_78261_img_2.gif"></div>Доказать, что нельзя провести ломаную, пересекающую каждый из отрезков ровно один раз. Ломаная может быть незамкнутой и самопересекающейся, но её вершины не должны лежать на отрезках, а стороны – проходить через вершины фигуры.

Дана таблица 4×4 клетки, в некоторых клетках которой поставлено по звёздочке. Показать, что можно так расставить семь звёздочек, что при вычёркивании любых двух строк и любых двух столбцов этой таблицы в оставшихся клетках всегда была бы хотя бы одна звёздочка. Доказать, что если звёздочек меньше, чем семь, то всегда можно так вычеркнуть две строки и два столбца, что все оставшиеся клетки будут пустыми.

Доказать, что среди любых 39 последовательных натуральных чисел обязательно найдётся такое, у которого сумма цифр делится на 11.